Ensembles finis Exemples

$2 y^{2} + (2 k - 3) y - 5 = 0$

Étape 1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y^{2} + 2 k y - 3 y - 5 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 2 k - 3$ et $c = - 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- (2 k - 3) \pm \sqrt{{(2 k - 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 5)}}{2 \cdot 2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (2 k) + 3 \pm \sqrt{{(2 k - 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{{(2 k - 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{{(2 k - 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.4

Réécrivez ${(2 k - 3)}^{2}$ comme $(2 k - 3) (2 k - 3)$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{(2 k - 3) (2 k - 3) - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.5

Développez $(2 k - 3) (2 k - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{2 k (2 k - 3) - 3 (2 k - 3) - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k - 3) - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{2 \cdot (2 k \cdot k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.6.1.2

Multipliez $k$ par $k$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.6.1.2.1

Déplacez $k$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{2 \cdot (2 (k \cdot k)) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.6.1.2.2

Multipliez $k$ par $k$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{2 \cdot (2 k^{2}) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.6.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.6.1.4

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 6 k - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.6.1.5

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 6 k - 6 k - 3 \cdot - 3 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.6.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 6 k - 6 k + 9 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.6.2

Soustrayez $6 k$ de $- 6 k$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 12 k + 9 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.7

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 5$ .

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Étape 4.1.7.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 12 k + 9 - 8 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.7.2

Multipliez $- 8$ par $- 5$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 12 k + 9 + 40}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.8

Additionnez $9$ et $40$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 12 k + 49}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{- 2 k + 3 \pm \sqrt{4 k^{2} - 12 k + 49}}{4}$

Étape 5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{2 k - 3 - \sqrt{4 k^{2} - 12 k + 49}}{4}$

$y = - \frac{2 k - 3 + \sqrt{4 k^{2} - 12 k + 49}}{4}$